Question

如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE恰好平分∠ABC，有以下结论：
（1）ED=EC；（2）△ABC的周长等于2AE+EC；（3）图中共有3个等腰三角形；（4）∠A=36°，
其中正确的共有（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由角平分线的性质可判定ED≠EC；（2）由垂直平分线的性质可知AE=EB，则有AE+EB+AB=AE+AE+AE+EC=3AE+EC，可判断出（2）；（3）可判定△ABE、△ABC、△BEC为等腰三角形；（4）由（3）可求得∠A；可得出答案．

解答：解：（1）由题意可知DE⊥AB，BE平分∠ABC，
∴当EC⊥BC时，有ED=EC，
∵AB=AC，
∴∠ACB不可能等于90°，
∴ED=EC不正确；
（2）∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA=EB，
∴EA+EB+AB=EA+EA+AB=2EA+AB，
∵AB=AC，且AC=AE+EC，
∴EA+EB+AB=3AE+EC，
∴（2）不正确；
（3）∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC，
∵EA=EB，
∴△EAB为等腰三角形，∠A=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠C=2∠CBE，
又∠BEC=∠A+∠ABE=2∠CBE，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴图中共有3个等腰三角形，
∴（3）正确；
（4）由（3）可得∠BEC=∠C=2∠EBC，
∴2∠EBC+2∠EBC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=36°，
∴∠A=∠ABE=∠EBC=36°，
∴（4）正确；
∴正确的有（3）（4）共两个，
故选C．

点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．