Question

10．已知正方形ABCD，点E在CD上，点F在BC上，连接AF，作EG⊥AF于点G，DE+BF=AF，AB=2EG，CE=2，则线段AF的长度为5．

Answer 1

分析 连接AE、EF，延长FB至M使BM=DE，连接AM，证出MF=AF，得出∠M=∠FAM，由SAS证明△ABM≌△ADE，得出∠M=∠AED，∠BAM=∠DAE，证出∠GAE=∠DAE，由角平分线的性质定理DE=GE，由勾股定理得出AG=AD，同理：GF=CF，设DE=EG=x，则EG=x，AG=AD=AB=CD=2x，得出方程2x=x+2，解方程求出DE，得出AG=AD=AB=CD=BC=4，设GF=CF=y，则BF=4-y，AF=4+y，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出y，即可得出AF的长．

解答 解：连接AE、EF，延长FB至M使BM=DE，连接AM，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠ABF=∠ABM=90°，AB=BC=CD=AD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠AED，
∵DE+BF=AF，
∴MF=AF，
∴∠M=∠FAM，
在△ABM和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABM=∠D}&{\;}\\{BM=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠M=∠AED，∠BAM=∠DAE，
∴∠FAM=∠BAE，
∴∠BAM=∠GAE，
∴∠GAE=∠DAE，
∵EG⊥AF，∠D=90°，
∴DE=GE，
∵EF²=EG²+GF²=CE²+CF${\;}^{{\;}^{2}}$，
∴AG=AD，
同理：GF=CF，
设DE=x，则EG=x，
∵AB=2EG，
∴AG=AD=AB=CD=2x，
∵CD=DE+CE=x+2，
∴2x=x+2，
解得：x=2，
∴DE=EG=CE=2，
∴AG=AD=AB=CD=BC=4，
设GF=CF=y，则BF=4-y，AF=4+y，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（4-y）²=（4+y）²，
解得：y=1，
∴AF=4+1=5；
故答案为：5．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、解方程等知识；本题综合性强，难度较大，需要作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．