Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根（OB＞OC）．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．

（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（3，3）， B（6，0）；（2）m=t（0＜t＜3）；（3）P（2，0）或（，0）．

【解析】

（1）先利用因式分解法解方程可得到OB=6，OC=5，则B点坐标为（6，0），作AM⊥x轴于M，如图，利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM=OB=3，于是可写出B点坐标；

（2）作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为（4，﹣3），再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为，直线OA的解析式为y=x，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q（t，t），R（t，t），所以QR=t﹣（t），从而得到m关于t的函数关系式．

（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6，直线BC的解析式为，然后分类讨论：当0＜t＜3时，利用t=3.5可求出t得到P点坐标；

当3≤t＜4时，则Q（t，﹣t+6），R（t，t），于是得到﹣t+6﹣（t）=3.5，解得t=10，不满足t的范围舍去；当4≤t＜6时，则Q（t，﹣t+6），R（t，），所以﹣t+6﹣（）=3.5，然后解方程求出t得到P点坐标．

（1）∵方程的解为=5，=6，

∴OB=6，OC=5，

∴B点坐标为（6，0），

作AM⊥x轴于M，如图，

∵∠OAB=90°且OA=AB，

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴OM=BM=AM=OB=3，

∴A点坐标为（3，3）；

（2）作CN⊥x轴于N，如图，

∵t=4时，直线l恰好过点C，

∴ON=4，在Rt△OCN中，CN===3，

∴C点坐标为（4，﹣3），

设直线OC的解析式为y=kx，把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=，

∴直线OC的解析式为，设直线OA的解析式为y=ax，

把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴直线OA的解析式为y=x，

∵P（t，0）（0＜t＜3），

∴Q（t，t），R（t，t），

∴QR=t﹣（t）=t，即m=t（0＜t＜3）；

（3）设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，3），B（6，0）代入得：，解得：，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，

同理可得直线BC的解析式为；

当0＜t＜3时，m=t，

若m=3.5，则t=3.5，

解得t=2，此时P点坐标为（2，0）；

当3≤t＜4时，Q（t，﹣t+6），R（t，t），

∴m=﹣t+6﹣（t）=t+6，

若m=3.5，则t+6=3.5，

解得t=10（不合题意舍去）；

当4≤t＜6时，Q（t，﹣t+6），R（t，），

∴m=﹣t+6﹣（）=t+15，

若m=3.5，则t+15=3.5，解得t=，

此时P点坐标为（，0），

综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（，0）．