【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于点和点,给出如下定义:若,则称点为点的限变点.例如:点的限变点的坐标是,点的限变点的坐标是.
(1)①点的限变点的坐标是___________;
②在点,中有一个点是函数图象上某一个点的限变点,这个点是_______________;
(2)若点在函数的图象上,其限变点的纵坐标的取值范围是,求的取值范围;
(3)若点在关于的二次函数的图象上,其限变点的纵坐标的取值范围是或,其中.令,求关于的函数解析式及的取值范围.
【答案】(1)①;② 点B.(2)(3)
【解析】
(1)①根据限变点的定义可判断点的限变点的坐标是;②求出点,的原始点,代入,适合解析式的是点B的限变点;(2)根据,可得图象上的点P的限变点必在函数的图象上,求出当时和当时,x的值,再由推出;(3)确定出的顶点坐标,然后分和两种情况讨论:其中,不合题意,时,求出,所以,然后可确定的取值范围是≥2.
解:(1)①;
② 点B.
(2)依题意,图象上的点P的限变点必在函数的图象上.
,即当时,取最大值2.
当时,或.
或(舍).
当时, 或.
或.
,
由图象可知,的取值范围是.
(3),
顶点坐标为.
若,的取值范围是或,与题意不符.
若,当时,的最小值为,即;
当时,的值小于,即.
.
关于的函数解析式为.
当t=1时,取最小值2.
的取值范围是≥2.
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【题目】如图,在□ABCD中,AC与BD相交于点O,过点B作BE∥AC,联结OE交BC于点F,点F为BC的中点.
(1)求证:四边形AOEB是平行四边形;
(2)如果∠OBC=∠E,求证:BOOC=ABFC.
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【题目】参与两个数学活动,再回答问题:
活动:观察下列两个两位数的积两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于,猜想其中哪个积最大?
,,,,,,,,.
活动:观察下列两个三位数的积两个乘数的百位上的数都是9,十位上的数与个位上的数组成的数的和等于,猜想其中哪个积最大?
,,,,,,.
分别写出在活动、中你所猜想的是哪个算式的积最大?
对于活动,请用二次函数的知识证明你的猜想.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的长分别是一元二次方程的两个根(OB>OC).
(1)求点A和点B的坐标.
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=4时,直线l恰好过点C.当0<t<3时,求m关于t的函数关系式.
(3)当m=3.5时,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置,其中=180°,且=,=.若阿超在上取一点P,在上取一点Q,使得∠APQ=130°,则下列叙述何者正确( )
A. Q点在上,且>B. Q点在上,且<
C. Q点在上,且>D. Q点在上,且<
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上,与x轴交于点A、B,与y轴交于点C
(1) 如图1,若A (1,0)、C (0,3)且对称轴为直线x=2,求抛物线的解析式
(2) 在(1)的条件下,如图2,作点C关于抛物线对称轴的对称点D,连接AD、BD,在抛物线上是否存在点P,使∠PAD=∠ADB,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由
(3) 若直线l:y=mx+n与抛物线有两个交点M、N(M在N的左边),Q为抛物线上一点(不与M、N重合),过点Q作QH平行于y轴交直线l于点H,求的值
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【题目】要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0.以下结论(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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