[题目]已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上.与x轴交于点A.B.与y轴交于点C(1) 如图1.若A (1.0).C (0.3)且对称轴为直线x＝2.求抛物线的解析式(2) 在(1)的条件下.如图2.作点C关于抛物线对称轴的对称点D.连接AD.BD.在抛物线上是否存在点P.使∠PAD＝∠ADB.若存在.求出点P的坐标.若不存在.请说明理由(3) 若直线l:y＝mx+n与抛物线有两个交� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C

(1) 如图1，若A (1，0)、C (0，3)且对称轴为直线x＝2，求抛物线的解析式

(2) 在(1)的条件下，如图2，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接AD、BD，在抛物线上是否存在点P，使∠PAD＝∠ADB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由

(3) 若直线l：y＝mx＋n与抛物线有两个交点M、N（M在N的左边），Q为抛物线上一点（不与M、N重合），过点Q作QH平行于y轴交直线l于点H，求的值

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）点P的横坐标的值为或6；（3）1.

【解析】

（1）把A、C点代入y=ax2+bx+c 得到a、b的方程，加上对称轴方程得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；

（2）当P点与B点在AD的同侧，作DE⊥x轴于E，EF⊥AD于F，交抛物线于点P，如图1，先确定C（0，3），利用对称性确定D（4，3），再判断△ADE为等腰直角三角形，则EF垂直平分AD，此时∠PAD=∠ADB，接着利用待定系数法求出直线EF的解析式为y=-x+4，然后解方程x2-4x+3=-x+4即可得到点P的横坐标的值；当P点与B点在AD的两侧，易得直线BD的解析式为y=3x-9，设过点A与BD平行的直线交抛物线于P点，利用平行问题求出线AP的解析式为y=3x-3，然后解方程x2-4x+3=3x-3得此时点P的横坐标；

（3）设Q（t，t2-4t+3），则H（t，m），设M、N的横坐标分别为x1，x2，利用抛物线与一次函数的交点问题判断x1，x2为方程x2-4x+3=m的两根，则根据根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=3-m，由于HM=t-x1，NH=x2-t，则HMNH=-t2+4t-3+m，利用HQ=-t2+4t-3+m，于是可得的值．

（1）根据题意得：

，解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；

（2）存在．当P点与B点在AD的同侧，

作DE⊥x轴于E，EF⊥AD于F，交抛物线于点P，如图1，

∵点D与点C关于直线x=2对称，

∴D（4，3），

∴E（4，0），

∵EA=ED=3，

∴△ADE为等腰直角三角形，

∴EF垂直平分AD，

∴PA=PD，

∴∠PAD=∠ADB，

∵F点为AD的中点，

∴F（，），

设直线EF的解析式为y=px+q，

把E（4，0），F（，）代入得，解得，

∴直线EF的解析式为y=-x+4，

解方程x2-4x+3=-x+4得x1=，x2=，

此时点P的横坐标的值为；

当P点与B点在AD的两侧，

易得直线BD的解析式为y=3x-9，

设过点A与BD平行的直线交抛物线于P点，

直线AP的解析式为y=3x-3，

解方程x2-4x+3=3x-3得x1=1，x2=6，

此时点P的横坐标的值为6；

综上所述，点P的横坐标的值为或6；

（3）设Q（t，t2-4t+3），则H（t，m），

设M、N的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2为方程x2-4x+3=m的两根，

∴x1+x2=4，x1x2=3-m，

∴HM=t-x1，NH=x2-t，

∴HMNH=（t-x1）（x2-t）=-t2+（x1+x2）t-x1x2=-t2+4t-3+m，

∵HQ=m-（t2-4t+3）=-t2+4t-3+m，

∴HMNH=HG，

∴的值为1．

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