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【题目】已知,正方形

1)如图1,当点分别在边上,连接,求证:

2)如图2,点分别在边上,且,当点分别在上,连接,请探究线段之间满足的数量关系,并加以证明.

1 2

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

1)由题意可知△ADF≌△ABG,可得到AFAGDFBG,∠DAF=∠BAG,通过证明GBE三点共线,可推出∠EAG=∠EAF,从而证得△EAG≌△EAF,进而证得EGEF,把EF转化到EGBGBEDFBE,即可得证.
2)把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,证得△EAH≌△EAF,把EF转化到EH,然后利用BNDM证明四边形BMDN为平行四边形,得出∠ABE=∠FDM,从而得出∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠ADF+∠MDN90°,由得到

1)如图,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABG


∴△ADF≌△ABG
AFAGDFBG,∠DAF=∠BAG
∵正方形ABCD
∴∠D=∠BAD=∠ABE90°ABAD
∴∠ABG=∠D90°,即GBC在同一直线上
∵∠EAF45°
∴∠DAF+∠BAE90°45°45°
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE45°
即∠EAG=∠EAF
△EAG△EAF中,

∴△EAG≌△EAFSAS
EGEF
BEDFBEBGEG
EFBEDF
2,证明如下:
如图,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABH

∴△ADF≌△ABH
AFAHDFBH,∠DAF=∠BAH,∠ADF=∠ABH
∵∠EAF45°
∴∠DAF+∠BAE90°45°45°
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE45°
即∠EAH=∠EAF
△EAH△EAF中,

∴△EAH≌△EAFSAS
EHEF
BNDMBNDM
∴四边形BMDN是平行四边形
∴∠ABE=∠MDN
∴∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠ADF+∠MDN=∠ADM90°

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