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【题目】已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的 O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)判断DE与 O的位置关系,并证明你的结论;
(3)若 O的直径为3,cosB= ,求DE的长.

【答案】
(1)解:证明:连结CD,如图,

∵BC为直径,

∴∠BDC=90°,

∴CD⊥AB,

∵AC=BC,

∴AD=BD,

即点D是AB的中点;


(2)解:DE与⊙O相切.理由如下:

连结OD,

∵AD=BD,OC=OB,

∴OD为△ABC的中位线,

∴OD∥AC,

而DE⊥AC,

∴DE⊥OD,

∴DE为⊙O的切线.


(3)解:连结CD,如图,

∵BC为直径,

∴∠BDC=90°,

在Rt△BDC中,∵cosB=

∴BD= BC= ×3=1,

∴AD=BD=1,

在Rt△ADE中,∵cosA=cosB= =

∴AE= AD=

∴DE= = = .


【解析】(1)连结OD,如图,由OD=OB得到∠ODB=∠B,由CA=CB得到∠A=∠B,则∠ODB=∠A,则可判断OD∥AC,易得BD=AD,即点D是AB的中点;(2)由于OD∥AC,DE⊥AC,所以DE⊥OD,于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线;(3)连结CD,如图,根据圆周角定理得到∠BDC=90°,则在Rt△BDC中,利用余弦定义可计算出BD= BC=1,所以AD=BD=1,接着在Rt△ADE中,利用余弦定义可计算出AE= AD= ,然后根据勾股定理可计算出DE的长.
【考点精析】通过灵活运用切线的判定定理,掌握切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可以解答此题.

练习册系列答案
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D是边AB的中点,现有一点P位于边AC上,使得△ADP与△ABC相似,则线段AP的长为

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【题目】某小学三年级到六年级的全体学生参加“礼仪”知识测试,试题共有10题,每题10分.从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计,发现抽测的学生每人至少答对了6题,现将有关数据整理后绘制成如下“年级人数统计图”和尚未全部完成的“成绩情况统计表”.

成绩情况统计表

成绩

100分

90分

80分

70分

60分

人数

21

40

5

频率

0.3

根据图表中提供的信息,回答下列问题:
(1)请将统计表补充完整
成绩情况统计表

成绩

100分

90分

80分

70分

60分

人数

21

40

5

频率

0.3


(2)测试学生中,成绩为80分的学生人数有 名;众数是 分;中位数是 分;
(3)若该小学三年级到六年级共有1800名学生,则可估计出成绩为70分的学生人数约有 名.

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【题目】“元旦”期间,某商场为了吸引顾客购物消费,设计了如图所示的一个转盘,转盘平均分成3份.
(1)求转动该转盘一次所得的颜色是黄色的概率;
(2)请用列表法或画树状图的方法来说明转动该转盘两次,两次所得的颜色相同的概率.
(3)该商场设计了如下两种奖励方案:方案一,转动该转盘一次,若转得的颜色是黄色则可得奖;方案二,转动该转盘两次,若两次转得的颜色相同则可得奖。如果你是顾客,你选择哪种方案比较划算?为什么?

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【题目】如图,边长为4的正方形ABCD内接于点O,点E是 上的一动点(不与A、B重合),点F是 上的一点,连接OE、OF,分别与AB、BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有以下结论,其中正确的个数是( ). ① = ②△OGH是等腰三角形; ③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;④△GBH周长的最小值为4+ .


A.1
B.2
C.3
D.4

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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).动点P在直线y= x上运动,以点P为圆心,PB长为半径的⊙P随点P运动,当⊙P与ABCO的边相切时,P点的坐标为

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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣ x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.

(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求 AM+CM它的最小值.

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【题目】红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):

182

195

201

179

208

204

186

192

210

204

175

193

200

203

188

197

212

207

185

206

188

186

198

202

221

199

219

208

187

224


(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:

谷粒颗数

175≤x<185

185≤x<195

195≤x<205

205≤x<215

215≤x<225

频数

8

10

3

对应扇形图中区域

D

E

C


如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为 度,扇形B对应的圆心角为 度;
(2)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株?

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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,CB=16,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是(
A.50π﹣48
B.25π﹣48
C.50π﹣24
D.

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