Question

【题目】若一个三位数满足条件：其十位数字是百位数字的两倍与个位数字的差，则称这样的三位数为“十全数”，将“十全数”s的百位数字与十位数字交换位置，交换后所得的新数叫做s的“十美数”，如231是一个“十全数”，321是231的“十美数”

（1）证明：任意一个“十全数”s的“十美数”都能被3整除；

（2）已知m为“十全数”，n是m的“十美数”，若m的两倍与n的差能被13整除，求m的值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）m为582或675或768.

【解析】

（1）首先应根据题目中所给的“十全数”和“十美数”的概念，将他们数表示出来．要说明“十美数”都能被3整除，则只需要证明到“十美数”是3的倍数即可．

（2）首先应根据题意表示出m、n，又因为m的两倍与n的差能被13整除，所以m的两倍与n的差必须是13的倍数．因此根据它们的范围一一验证即可求出最终m的值．

（1）设“十全数”s为100a+10×（2a﹣b）+b，∴s的“十美数”为100×（2a﹣b）+10a+b=210a﹣99b=3×（70a﹣33b），∴任意一个“十全数”s的“十美数”都能被3整除；

（2）设m为100x+10×（2x﹣y）+y，∴m的“十美数”为100×（2x﹣y）+10x+y=210x﹣99y，∴2[100x+10×（2x﹣y）+y]﹣[210x﹣99y]=30x+81y

∵m的两倍与n的差能被13整除，∴2x+6y．

∵为整数，1≤x≤9，0≤y≤9，1≤2x﹣y≤9，∴x=1时，y=3，2x﹣y=﹣1（不合题意舍去），x=2时，y=6，2x﹣y=﹣2（不合题意舍去），x=3，4时，y的值不合题意，x=5时，y=2，2x﹣y=8，x=6时，y=5，2x﹣y=7，x=7时，y=8，2x﹣y=6，x=8、9时，y不合题意，∴m为582或675或768．