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【题目】如图,在正方形中,过作一直线与相交于点,过垂直于点,过垂直于点,在上截取,再过垂直.若.则与四边形的面积之和为________

【答案】9

【解析】

ABCD为正方形根据正方形的性质得到AB=BCABC=90°,即∠CBG+∠ABF=90°,又根据CGBE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°,根据同角的余角相等得到一对角相等又根据一对直角相等利用AAS即可得到三角形BCG与三角形FBA全等根据全等三角形的对应边相等得到AFBG相等又因为FH=FB从而得到AH=FG然后由垂直得到一对直角相等加上一个公共角得到三角形APH与三角形ABF相似根据相似得比例AH=FG=xx表示出PH由四边形PHFB一组对边平行另一组对边不平行得到此四边形为梯形根据梯形的面积公式由上底PH下底为BF=3FH=3表示出梯形的面积然后在三角形BCG与三角形ECG根据同角的余角相等再加上一对直角得到两三角形相似根据相似得比例用含x的式子表示出GECG=3表示出的GE利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积把表示出的两面积相加化简即可得到结论

∵四边形ABCD为正方形AB=BCABC=90°,即∠CBG+∠ABF=90°,CGBE即∠BGC=90°,∴∠BCG+∠CBG=90°,∴∠ABF=BCGAFBG∴∠AFB=BGC=90°,∴△ABF≌△BCGAF=BGBF=CG=FH=3

又∵FH=BFAH=FGAH=FG=x

PHAFBFAF∴∠AHP=AFB=90°,又∠PAH为公共角∴△APH∽△ABF=PH=

PHBFBP不平行FH∴四边形BFHP为梯形其面积为=+

又∵∠BCG+∠ECG=90°,ECG+∠BEC=90°,∴∠BCG=BEC又∠BGC=CGE=90°,∴△BCG∽△CEG=GE=RtCGE的面积为×3×则△CGE与四边形BFHP的面积之和为++=+=9

故答案为:9

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