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【题目】如图 1,在正方形 ABCD 中,EF 分别是 ADCD 上两点,BE AF 于点 G,且 DECF

1)写出 BE AF 之间的关系,并证明你的结论;

2)如图 2,若 AB2,点 E AD 的中点,求 AG 的长度。

3)在(2)的条件下,连接 GD,试证明 GD 是∠EGF 的角平分线,并求出 GD 的长;

【答案】1BE=AFBEAF,证明见解析;(2;(3)证明见解析;GD=.

【解析】

1)先判断出BAE≌△ADFSAS),得出BE=AF,∠ABE=DAF,即可得出结论;

2)利用面积法计算即可解决问题.

3)先利用勾股定理求出AF,进而利用面积求出DN,进而判断出AG=DN,再判断出DM=AG,即可得出GD是∠MGN的平分线,进而判断出DGN是等腰直角三角形即可得出结论.

1BE=AFBEAF,理由:

四边形ABCD是正方形,

BA=AD=CD,∠BAE=D=90°

DE=CF

AE=DE

∴△BAE≌△ADFSAS),

BE=AF,∠ABE=DAF

∵∠ABE+AEB=90°

∴∠DAE+AEB=90°

∴∠BGA=90°

BEAF

2)在RtABE中,∵AB=2AE=1

BE=

SABE=ABAE=BEAG

3)如图,过点DDNAFNDMBEBE的延长线于M

RtADF中,根据勾股定理得,

SADF=AD×FD=AD×DN

AG=

AG=DN

易证,AEG≌△DEMAAS),

AG=DM

DN=DM

DMBEDNAF

GD平分∠MGN

∴∠DGN=MGN=45°

∴△DGN是等腰直角三角形,

GD=DN=.

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A. 1 B. ﹣1 C. D. 2﹣

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