Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=

1

2

AC，BO=

1

2

BD，利用勾股定理列式求出AB，作点E关于AC的对称点E′，根据轴对称确定最短路线问题，连接E′F与AC的交点即为所求的PE+PF最小值的点P，再根据菱形的轴对称性可知E′为AD的中点，E′F的长等于菱形的边长，从而得解．

解答：解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=

1

2

AC=

1

2

×8=4，BO=

1

2

BD=

1

2

×6=3，
∴AB²=3²+4²=25，
∴AB=5，
作点E关于AC的对称点E′，
连接E′F与AC的交点即为所求的PE+PF最小值的点P，PE+PF=E′F，
由菱形的轴对称性可知E′为AD的中点，
所以，E′F=AB=5，
即PE+PF的最小值为5．
故选：C．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质以及最短路线的确定方法是解题的关键．