Question

14．已知关于x的一元二次方程x²+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，设方程的两根分别为x₁，x₂，求x₁²+x₂²的值；
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程x²+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根得到△=2²-4×1×（2k-4）=20-8k＞0，求出k的取值范围即可；
（2）把x=1代入方程，求出x₁+x₂=-2，x₁x₂=-2，进而求出x₁²+x₂²的值；
（3）首先求出方程的根为x=-1±$\sqrt{5-2k}$，且根为整数，则5-2k为完全平方数，结合k的取值范围即可求出k的值．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根，
∴△=2²-4×1×（2k-4）=20-8k＞0，
∴k＜$\frac{5}{2}$；
（2）当k=1时，方程为x²+2x-2=0，解得x₁+x₂=-2，x₁x₂=-2，
则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4+4=8．
（3）∵k为正整数，且k＜$\frac{5}{2}$，
∴k=1或2．
又∵方程的根为x=-1±$\sqrt{5-2k}$，且根为整数，
∴5-2k为完全平方数，
∴k=2．

点评 本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．