Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．

（1）求∠BDE的度数．

（2）求证：△DEB∽△ADB．

（3）若BC＝4，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）36°；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠C=90°-∠B=54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°．再根据折叠的性质得出∠ADF=∠ADC=72°，然后根据平角的定义得出∠BDE=180°-∠ADC-∠ADF=36°．

（2）根据∠B＝∠B，∠BDE＝∠BAD证明即可；

（3）由△DEB∽△ADB得，设BE＝x得方程x(x+2)=4，求解方程即可.

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，

∴∠C=90°-∠B=54°．

∵AD是斜边BC上的中线，

∴AD=BD=CD，

∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，

∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°．

∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，

∴∠ADF=∠ADC=72°，

∴∠BDE=180°-∠ADC-∠ADF=180°-72°-72°=36°．

（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，

∴AD＝BD，

∵∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，

∵∠BDE＝36°，

∴∠B＝∠B，∠BDE＝∠BAD，

∴△DEB∽△ADB．

（3）∵△DEB∽△ADB，

∴，设BE＝x，

∵BC＝4，

∴，

∴BE＝x＝