Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，F为AC边上中点，四边形BEDC是矩形，且BC=2BE，求证：△FBD是等腰三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：首先证明△ABF∽△CBD，可得∠BAF=∠CBD，进而得到∠FBD=∠FBC+∠CBD=∠ABC=45°，根据相似三角形的性质可得

FB

DB

=

AB

CB

=

2

2

，作DG垂直于BF于G，再证明F、G重合即可．

解答：证明：∵∠A=90°，AB=AC，
∴BC=

2

AB，
∵F为AC边上中点，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

AB，
∵BC=2BE，
∴

AB

AF

=

BC

CD

=2，
∵∠A=∠BCD=90°，
∴△ABF∽△CBD，
∴∠BAF=∠CBD，
∴∠FBD=∠FBC+∠CBD=∠ABC=45°，
∵

FB

DB

=

AB

CB

=

2

2

，
作DG垂直于BF于G，
∴

GB

DB

=

2

2

，
∴F、G重合，
∴∠BFD=90°，
∴△FBD是直角等腰三角形．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形的判定，关键是正确证明△ABF∽△CBD．