Question

5．已知方程x²-3x+1=0
（1）求x+$\frac{1}{x}$的值
（2）求x-$\frac{1}{x}$的值
（3）若a为方程x²-3x+1=0一个根，求2a²-6a+2017的值．

Answer 1

分析 （1）由x²-3x+1=0，可知x≠0，将方程两边同时除以x，得到x-3+$\frac{1}{x}$=0，即可求出x+$\frac{1}{x}$=3；
（2）利用完全平方公式得出（x-$\frac{1}{x}$）²=（x+$\frac{1}{x}$）²-4=9-4=5，那么x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{5}$；
（3）将x=a代入方程x²-3x+1=0，整理得出a²-3a=-1，那么2a²-6a+2017=2（a²-3a）+2017=2015．

解答 解：（1）∵x²-3x+1=0，
∴x≠0，方程两边同时除以x，得x-3+$\frac{1}{x}$=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=3；

（2）∵（x-$\frac{1}{x}$）²=（x+$\frac{1}{x}$）²-4=9-4=5，
∴x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{5}$；

（3）∵a为方程x²-3x+1=0一个根，
∴a²-3a+1=0，
∴a²-3a=-1，
∴2a²-6a+2017=2（a²-3a）+2017=-2+2017=2015．

点评 本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等式的性质以及完全平方公式．