Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°．分别以直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．过点E，作EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
求证：
（1）AC=EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得出∠AEF=∠CAB，进而利用AAS求出△AEF≌△BAC，进而得出答案；
（2）根据（1）中所求结合平行线的判定方法得出AD$\stackrel{∥}{=}$EF，即可得出答案．

解答 证明：（1）∵∠BAC=30°，以直角边AB向外作等边△ABE，
∴∠CAB=∠CAB+∠BAE=90°，AE=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠CAB，
在△AEF和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠ACB}\\{∠AEF=∠CAB}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴AC=EF；

（2）∵以直角边AC向外作等边△ACD，∠BAC=30°，
∴∠DAB=90°，AD=AC，
又∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵AC=EF，
∴AD=EF，
∴AD$\stackrel{∥}{=}$EF，
∴四边形ADFE是平行四边形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定等知识，正确利用全等三角形的判定方法是解题关键．