Question

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），△DBC为等边三角形．
（1）如图1，∠ABD=

 

（用含α的式子表示）；
（2）如图2，若∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，直线AD与CE的夹角是

 

；
（4）在（2）的条件下，若BC=4cm，∠CED=45°，则α=

 

；AD=

 

cm．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，再根据三角形的内角和定理得出∠ABC=90°-

1

2

α，最后根据∠DBC=60°，即可得出答案；
（2）连接AD，先证出△ABD≌△ACD，得出∠ADB=∠ADC，再根据∠BDC=60°，求出∠ADB=150°，得出∠ADB=∠BCE，再证出∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，根据ASA得出△ABD≌△EBC，从而得出AB=BE，即可证出△ABE是等边三角形；
（3）先求出∠BCF=30°，根据∠DCB=60°，得出∠DCF=90°，再根据∠ADC=150°，得出∠F=60°即可；
（4）根据已知条件先求出∠DCE=90°，再根据∠DEC=45°，得出△DEC为等腰直角三角形，得出DC=CE=BD=4cm，再根据∠BAD=∠ABD=15°，得出AD=DB=4cm，∠BAC=30°，从而求出α的值．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=

180-α

2

=90°-

1

2

α，
∵△DBC为等边三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-

1

2

α-60°=30°-

1

2

α；
故答案为：30°-

1

2

α；

（2）△ABE是等边三角形；
如图1，理由如下：连接AD，
∵△DBC为等边三角形，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
在△ABD和△ACD中，

AB=AC AD=AD DB=DC

，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠BDC=60°，
∴∠ADB=

360-60

2

=150°，
∴∠ADB=∠BCE，
∵∠ABE=60°，∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，

∠ABD=∠EBC BD=BC ∠ADB=∠BCE

，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形；

（3）如图2，∵∠BCE=150°，
∴∠BCF=30°，
∵∠DCB=60°，
∴∠DCF=90°，
∵∠ADC=150°，
∴∠CDF=30°，
∴∠F=60°；
故答案为：60°；

（4）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC=CE=BD=4cm，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=

1

2

（180°-150°）=15°，
∴∠BAD=∠ABD=15°，
∴AD=DB=4cm，
∴∠BAC=30°，
∴α=30°．
故答案为：30°，4．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，关键是找出全等三角形．