Question

7．（1）计算下列各题，并观察它们的共同特点：
2×4×6×8+16=16×（2²+1）²=400，
4×6×8×10+16=16×（3²+2）²=1936，
6×8×10×12+16=16×（4²+3）²=5776，
…
（2）从上面的计算过程中，你发现了什么规律？
（3）请用含有字母n的代数式表示这一规律，并说明它的正确性．

Answer 1

分析 （1）由2×4×6×8+16=16×（2²+1）²=400，4×6×8×10+16=16×（3²+2）²=1936，6×8×10×12+16=16×（4²+3）²=5776，…；
（2）由（1）中的计算得出四个连续偶数的乘积加上16等于序数加1的平方与1的和的平方的16倍；
（3）由（2）的规律用式子表示为2n（2n+2）（2n+4）（2n+6）+16=16[（n+1）²+n]²；进一步验证即可．

解答 解：（1）2×4×6×8+16=16×（2²+1）²=400，
4×6×8×10+16=16×（3²+2）²=1936，
6×8×10×12+16=16×（4²+3）²=5776，
…；
（2）从上面的计算过程中，可以发现四个连续偶数的乘积加上16等于序数加1的平方再加上1的和的平方的16倍；
（3）2n（2n+2）（2n+4）（2n+6）+16=16×[（n+1）²+n]²；
理由：左边=2n（2n+2）（2n+4）（2n+6）+16
=16[（n²+3n）（n²+3n+2）+1]
=16[（n+1）²+n]²；
右边=16[（n+1）²+n]²；
左边=右边
所以2n（2n+2）（2n+4）（2n+6）+16=16×[（n+1）²+n]²．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．