Question

12．在平面直角坐标中，x轴上有点A和点M，y轴上有一点B，过点M作MN⊥AB于点N，交y轴于点G，且MG=AB，OA、OM（OA＜OM）的长是方程x²-7x+12=0的两个根．
（1）求点A，B及点M的坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）直线MN上是否存在点P，△PMA是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形BNG与三角形OMG相似，利用相似三角形对应角相等得到∠ABO=∠OMG，再由一对直角相等，AB=MG，利用AAS得到三角形AOB与三角形OMG全等，利用全等三角形对应边相等得到OB=OM，OG=OA，求出已知方程的解确定出OA与OM的长，求出A与M坐标，进而确定出B的坐标即可；
（2）由（1）确定出G与M坐标，设直线MN解析式为y=kx+b，把G与M坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN解析式即可；
（3）直线MN上存在点P，△PMA是等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若PA=PM；MP=MA；AM=PM，分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）∵∠BNG=∠GOM=90°，∠BGN=∠MGO，
∴∠BNG=∠OMG，
在△AOB和△GOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠GMO}\\{∠AOB=∠GOM}\\{AB=MG}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△GOM（AAS），
∴OB=OM，OA=OG，
方程x²-7x+12=0，
分解因式得：（x-3）（x-4）=0，
解得：x=3或x=4，
∴OA=3，OM=4，
∴A（-3，0），M（4，0），B（0，4）；

（2）由（1）得：G（0，3），M（4，0），
设直线MN解析式为y=kx+b，
把G与M坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=3，
则直线MN解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（3）直线MN上存在点P，△PMA是等腰三角形，
分三种情况考虑：若PA=PM，作PQ⊥AM，可得PQ垂直平分AM，
由A（-3，0），M（4，0），得到AM=7，即QM=$\frac{7}{2}$，OQ=4-$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{1}{2}$代入得：y=$\frac{21}{8}$，此时P（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）；
若AM=MP，设P（a，-$\frac{3}{4}$a+3），由M（4，0），
得到（a-4）²+（-$\frac{3}{4}$a+3）²=49，
解得：a=$\frac{48}{5}$或a=-$\frac{8}{5}$，
此时P（$\frac{48}{5}$，-$\frac{21}{5}$），P（-$\frac{8}{5}$，$\frac{21}{5}$），
综上，满足题意P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）或（$\frac{48}{5}$，-$\frac{21}{5}$）或（-$\frac{8}{5}$，$\frac{21}{5}$）．

点评 此题属于一次函数解析式，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．