Question

19．如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，M、N、G、H分别为AE、AB、BD、DE的中点．

（1）判断四边形MNGH的形状，并予以证明；
（2）将图1中的△CDE旋转至图2，则（1）中结论是否成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接AD，BE，因为M．N．G．H分别为AE，AB，BD，DE中点，利用中位线的性质，得到四边形MNGH为平行四边形，通过证明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD=BE，所以GH=MH，所以四边形MNGH为菱形，再通过证明得到∠NMH=90°，所以四边形MNGH为正方形；
（2）成立；利用（1）的方法证明，即可解答．

解答 （1）证明：如图1，连接AD，BE，
∵M．N．G．H分别为AE，AB，BD，DE中点
∴NG∥AD，NG=$\frac{1}{2}$AD，MH∥AD MH=$\frac{1}{2}$AD，GH∥BE，GH=$\frac{1}{2}$BE，
∴NG∥MH，NG=MH，
∴四边形MNGH为平行四边形，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACB=∠DCE=9{0}^{°}}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD，
∴GH=MH，
∴四边形MNGH为菱形，
∵MH∥AD，
∴∠HME=∠CAD，
∴∠EBC=∠HME，
∵NM∥BE，
∴∠BEC=∠NMC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠HME+∠NMC=90°，
即∠NMH=90°，
∴四边形MNGH为正方形；

（2）成立，如图2，连接AD，BE，
∵M．N．G．H分别为AE，AB，BD，DE中点
∴NG∥AD，NG=$\frac{1}{2}$AD，MH∥AD MH=$\frac{1}{2}$AD，GH∥BE，GH=$\frac{1}{2}$BE，
∴NG∥MH，NG=MH，
∴四边形MNGH为平行四边形，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠BCE+∠ECA=90°，∠ACD+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD，
∴GH=MH，
∴四边形MNGH为菱形，
延长BE交AD于K，交AC于O，
∵∠OBC+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，∠CAD=∠CBE，
∴∠AOK+∠OAK=90°，
∴∠AKO=90°，即AK⊥AD，
∵NG∥AD，GH∥BK，
∴GN⊥GH，
∴∠NGH=90°，
∴四边形MNGH为正方形．

点评 本题考查了平行四边形、菱形、正方形的判定及三角形中位线定理，解决本题的关键是首先利用三角形中位线定理判断出平行四边形．