Question

18．如图，二次函数y=-x²+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足H，设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理得出HO=$\frac{1}{2}$，CH=$\frac{7}{4}$，进而得出BO的长即可得出答案；
（3）利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出EF的长即可得出答案．

解答 解：（1）将A（4，0），代入y=-x²+bx得：
0=-16+4b，
解得：b=4，
故y=-x²+4x；

（2）∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴D（2，4），则FO=2，
∵BO∥HC∥EF，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{HF}{OH}$=3，
∴HO=$\frac{1}{2}$，CH=$\frac{7}{4}$，
由$\frac{CH}{OB}$=$\frac{AH}{AO}$得，BO=2，则B（0，2）；

（3）连接EH，DH，
当△DHE是等腰三角形，DH为底，则HE=DE，
设OH=a，CH=-a²+4a
由$\frac{EF}{CH}$=$\frac{AF}{AH}$，即$\frac{EF}{-{a}^{2}+4a}$=$\frac{2}{4-a}$，
得：EF=2a，
故DE=HE=4-2a，
由EH²=EF²+FH²得，（4-2a）²=（2a）²+（2-a）²，
解得：a=4$\sqrt{3}$-6（负数舍去），
故E（2，8$\sqrt{3}$-12）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确应用勾股定理以及数形结合求出是解题关键．