Question

【题目】如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，BH是AC边上的高．

（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；（2）求证：∠DFE＝∠DHE．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据三角形中位线定理得到DF∥BC，EF∥AB，于是得到结论；

（2）根据平行线的性质得到∠A＝∠EFH，再在Rt△ABH中利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质得到DA＝DH，于是∠EFH＝∠FHD，同理，∠CHE＝∠AFD，根据平角的定义即可得到结论．

证明：（1）∵D、E、F分别是各边的中点，

∴DF和EF是△ABC的中位线，

∴DF∥BC，EF∥AB，

∴DF∥BE，EF∥BD，

∴四边形DBEF是平行四边形；

（2）∵EF∥AB，∴∠A＝∠EFH，

∵BH⊥AC，∴∠AHB＝90°，

∵D为AB的中点，

∴AD＝DH，

∴∠AHD＝∠A，

∴∠EFH＝∠FHD，

同理，∠CHE＝∠AFD，

∴∠DFE＝∠DHE．