Question

12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，$\widehat{BC}=\widehat{PC}$．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=6，BE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到$\widehat{BD}$=$\widehat{BC}$，于是得到∠BCD=∠D，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接AC，推出△BCE∽△BAE，根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BC}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BC}$，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{PC}$，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{PC}$，
∴∠BCD=∠D，
∴CB∥PD；

（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BCE=∠A，
∴△BCE∽△BCA，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
∴AB=$\frac{B{C}^{2}}{BE}$=$\frac{{6}^{2}}{4}$=9，
∴⊙O的半径为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．