Question

6．根据下列条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过（-1，0），（3，0），（1，-5）三点，并求出顶点和对称轴；
（2）当x=3时，y_最小值=-1，且图象过（0，7）；
（3）与x轴交点的横坐标分别是x₁=-3，x₂=1时，与y轴交点为（0，-2），并求出顶点和对称轴．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），把（-1，0），（3，0）代入得出y=a（x+1）（x-3），把（1，-5）代入求出a即可；
（2）设二次函数的解析式为y=a（x-h）²+k，代入顶点坐标，再代入（0，7）求出a即可；
（3）设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），代入点的坐标求出a即可．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
把（-1，0），（3，0）代入得：y=a（x+1）（x-3），
把（1，-5）代入得：-5=a（1+1）（1-3），
解得：a=$\frac{5}{4}$，
所以二次函数的解析式为：y=$\frac{5}{4}$（x+1）（x-3），即y=$\frac{5}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x-$\frac{15}{4}$；

（2）设二次函数的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵当x=3时，y_最小值=-1，
∴顶点坐标为（3，-1），
代入得：y=a（x-3）²-1，
把（0，7）代入得：a（0-3）²-1=7，
解得：a=$\frac{8}{9}$，
所以二次函数的解析式为：y=$\frac{8}{9}$（x-3）²-1，即y=$\frac{8}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+7；

（3）设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵与x轴交点的横坐标分别是x₁=-3，x₂=1，
∴把（-3，0），（1，0）代入得：y=a（x+3）（x-1），
∵与y轴交点为（0，-2），
∴代入得：a（0+3）（0-1）=-2，
解得：a=$\frac{2}{3}$，
所以二次函数的解析式为：y=$\frac{2}{3}$（x+3）（x-1），即y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式的应用，能正确设解析式是解此题的关键，利用待定系数法求二次函数解析式时，注意合理利用抛物线解析式的三种形式．