Question

【题目】已知：为等边三角形．

（1）求作：的外接圆．(不写作法，保留作图痕迹)

（2）射线交于点，交于点，过作的切线，与的延长线交于点．

①根据题意，将（1）中图形补全；

②求证：；

③若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；③EF＝．

【解析】

（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；
（2）①按题意画出图形即可；
②连接OB，OC，证明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，则结论得证；
③得出∠BOD＝60°，设OD＝x，则OB＝OE＝2＋x，得出cos∠BOD＝，求出x＝2，得出tan∠BAD＝，则可求出EF的值．

解：（1）如图所示：⊙O即为所求．

（2）①如图，补全图形：

②证明：连接OB，OC，

∵OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴AE⊥BC．
∵直线EF为⊙O的切线，
∴AE⊥EF，
∴EF∥BC；
③∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DE＝2，
设OD＝x，
∴OB＝OE＝2＋x，
在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，
∴cos∠BOD＝，
∴x＝2，
∴OD＝2，OB＝4，
∴AE＝8，
在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，
∴tan∠BAD＝，
∴EF＝．