Question

如图所示是⊙O的部分图形，OA、OB是圆O的两条互相垂直的半径，点M是弦AB的中点，过点M作MC∥OA，交

AB

于点C．求证：

AC

=

1

3

AB

．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：连结OC，延长CM交OB于D，如图，由于点M是弦AB的中点，MC∥OA，则DM为△AOB的中位线，得到OD=

1

2

OB=

1

2

OC，在Rt△OCD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠DOC=30°，再根据平行线的性质得∠AOC=30°，所以∠AOC=

1

3

∠AOB，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到

AC

=

1

3

AB

．

解答：证明：连结OC，延长CM交OB于D，如图，
∵点M是弦AB的中点，MC∥OA，
∴点D为OB的中点，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

OC，
在Rt△OCD中，∠DOC=30°，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB，
∴

AC

=

1

3

AB

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．