Question

【题目】如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．

（1）当t＝4时，求点E的坐标；

（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点E的坐标是（8，0）；（2）存在，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）过点E作CB的垂线，垂足为H，首先证明△PBC∽△BEH，然后由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标；

（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分四种情况讨论：①点P在点O上方时，△POE∽△EAB；②点P在点O上方时，△POE∽△BAE；③当点P在点O下方时，△OPE∽△ABE；④当点P在点O下方时，△OEP∽△ABE；分别求解即可．

解：（1）当t＝4时，PC＝4，

过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：

∵A（2，0），C（0，3），

∴OA＝2，OC＝3，

∵四边形OABC是矩形，

∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，

∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，

∴∠BPC＝∠EBH，

∵∠EHB＝∠BCP＝90°，

∴△PBC∽△BEH，

∴，即＝，

解得：BH＝6，

∴AE＝BH＝6，

∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，

∴点E的坐标是（8，0）；

（2）存在；

∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，

∴∠ABE＝∠PBC，

∵∠BAE＝∠BCP＝90°，

∴△BCP∽△BAE，

∴，

∴，

∴AE＝t，

当点P在点O上方时，如图2所示：

①若时，△POE∽△EAB，

∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，

∴，

解得：t1＝，t2＝（舍去），

∴OP＝3﹣＝，

∴P的坐标为（0，）；

②若△POE∽△BAE，

∵∠PEO和∠BEA明显不相等，

∴此情况不成立；

当点P在点O下方时，如图3所示：

③若，则△OPE∽△ABE，

∴，

解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），

OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，

∴P的坐标为（0，﹣）；

④若，则△OEP∽△ABE，

即，整理得：t2＝﹣9，

∴这种情况不成立，

综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．