Question

12．如图所示，在一条笔直的公路旁有A，B两个公交站台相距800米，居民区C位于A站台的北偏东45°方向，位于B站台的北偏东15°方向．
（1）求居民区C到站台A的距离；（结果保留根号）
（2）为方便C居民区乘车，准备在公路旁再修建一个距C区最近的站台D，不考虑其他因素，求CD的长度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）作BM⊥AC，垂足为M．先解直角三角形ABM，利用已知角∠MAB的正弦值，以及AB的长，可求出AM、BM．再解直角三角形BCM中，求出CM，那么根据AC=AM+CM即可求解；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，由△ACD是等腰直角三角形可得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，将（1）中所求AC的值代入计算即可．

解答 解：（1）作BM⊥AC，垂足为M．
在直角三角形ABM中，∵∠AMB=90°，∠BAM=45°，AB=800米，
∴AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=400$\sqrt{2}$米，
在Rt△BMC中，∵∠CMB=90°，∠MBC=45°+15°=60°，
∴CM=$\sqrt{3}$BM=400$\sqrt{6}$米，
∴AC=AM+CM=（400$\sqrt{2}$+400$\sqrt{6}$）米；

（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在直角三角形ACD中，
∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，AC=（400$\sqrt{2}$+400$\sqrt{6}$）米，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=（400+400$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．