Question

阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S₁，正方形ABCD的面积为S₂．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE、OF、

EF

及正方形ABCD的边围成的图形（阴影部分）的面积为S．
（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S₁、S₂之间的关系为：

 

（用含S₁、S₂的代数式表示）；
（2）当OM⊥AB于G时（如图②），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）结合正方形的性质及等腰直角三角形的性质，容易得出结论；
（2）仍然成立，可证得四边形OGHB为正方形，则可求出阴影部分的面积为扇形OEF的面积减去正方形OGBH的面积；
（3）仍然成立，过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，则可证明△ORG≌△OSH，可得出四边形ORBS的面积=四边形OGBH的面积，再利用扇形OEF的面积减正方形ORBS的面积即可得出结论．

解答：解：（1）当OM经过点A时由正方形的性质可知：∠MON=90°，
∴S_△OAB=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

S₂，S_扇形OEF=

1

4

S_圆O=

1

4

S₁，
∴S=S_扇形OEF-S_△OAB=

1

4

S_圆O-

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

S₁-

1

4

S₂=

1

4

（S₁-S₂），
故答案为：S=

1

4

（S₁-S₂）；
（2）结论仍然成立，理由如下：
∵∠EOF=90°，
∴S_扇形OEF=

1

4

S_圆O=

1

4

S₁
∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，
∴四边形OGBH为矩形，
∵OM⊥AB，
∴BG=

1

2

AB=

1

2

BC=BH，
∴四边形OGBH为正方形，
∴S_{四边形OGBH}=BG²=（

1

2

AB）²=

1

4

S₂，
∴S=S_扇形OEF-S_{四边形OGBH}=

1

4

S₁-

1

4

S₂=

1

4

（S₁-S₂）；
（3）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵∠EOF=90°，
∴S_扇形OEF=

1

4

S_圆O=

1

4

，
过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，
由（2）可知四边形ORBS为正方形，
∴OR=OS，
∵∠ROS=90°，∠MON=90°，
∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS，
在△ROG和△SOH中，

∠ROG=∠SOH OR=OS ∠ORG=∠OSH

，
∴△ROG≌△SOH（ASA），
∴S_△ORG=S_△OSH，
∴S_{四边形OGBH}=S_{正方形ORBS}，
由（2）可知S_{正方形ORBS}=

1

4

S₂，
∴S_{四边形OGBH}=

1

4

S₂，
∴S=S_扇形OEF-S_{四边形OGBH}=

1

4

（S₁-S₂）．

点评：本题主要考查圆的有关计算及正方形的性质、三角形全等的判定和性质等知识的综合运用，求阴影部分的面积主要有两种方法，即“割”或“补”把阴影部分的面积分成其他图形面积的和或差来求解，这是本题解题的关键．