Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3（a≠0）与直线y＝x﹣1交于点A和点B（点A在点B的左侧），AB＝5．

（1）求证：该抛物线必过一个定点；

（2）求该抛物线的解析式；

（3）设直线x＝m与该抛物线交于点E（x1，y1），与直线AB交于点F（x2，y2），当满足y1+y2＞0且y1y2＜0时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝x2﹣6x+5或y＝﹣x2﹣x+；（3）m＜1或4＜m＜5或﹣＜m＜1或m＞1．

【解析】

（1）将二次函数解析式进行变形，得到y=a（x2﹣3x+2）a﹣3x+3，当x2﹣3x+2＝0时，即可求出函数图象过的定点.

（2）将y＝x﹣1代入y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3，根据韦达定理得到根据两点之间的距离公式即可求出的值.

（3）根据（2）中的解析式，分两种情况进行讨论即可.

解：（1）证明：∵y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3＝a（x2﹣3x+2）a﹣3x+3，

∴当x2﹣3x+2＝0时，图象过定点，即：x＝1或2，

∴该抛物线必过定点（1，0）、（2，﹣3）；

（2）将y＝x﹣1代入y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3，整理得：ax2﹣（3a+4）x+2a+4＝0，

即：

如下图，直线y＝x﹣1与x轴的夹角为45°，则AB的水平距离为

解得：a＝1或

则函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5或

（3）当函数为：y1＝x2﹣6x+5时，直线表达式为：y2＝x﹣1，

令y1＝0，则x＝1或5，则点D坐标为（5，0），

①当m＜1时，则y1y2＜0，

当x＝m时，y1+y2＞0，即：m2﹣6m+5+m﹣1＞0，

解得：m＞4或m＜1，

故：m＜1；

②当1＜m＜5时，m2﹣6m+5+m﹣1＜0，

解得：4＜m或m＜1，

故：4＜m＜5；

同理当 时，

或m＞1；

综上所述：m的取值范围为：m＜1或4＜m＜5或或m＞1．