Question

【题目】△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．

（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）能，△ECN∽△MEN，见解析.

【解析】

（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠BME＝∠NEC，又由∠B=∠C=45°，即可证得△BEM∽△CNE；
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，可得，又由BE=EC，即可得，然后由∠ECN=∠MEN=45°，证得△ECN∽△MEN．

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠MBE＝45°，∴∠BME+∠MEB＝135°

又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°

∴∠NEC+∠MEB＝135°

∴∠BME＝∠NEC，

而∠B＝∠C＝45°，

∴△BEM∽△CNE．

（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，

∴．

又∵BE＝EC，

∴，

在△ECN与△MEN中有，

又∠ECN＝∠MEN＝45°，

∴△ECN∽△MEN．