Question

2．已知△ABC中．∠ABC=60°，D、E为边AC上的两点．DE=4，BD=6，BE=8．∠ABD=20°，∠CBE=10°，试在边AB、BC上分别找一点F、G．使四边形DFGE的周长最短．
（1）请在图中画出四边形DFGE；
（2）直接写出四边形DFGE的最短周长值是14．

Answer 1

分析 （1）作点D关于直线AB的对称点M，作点E关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于F交BC于G，于是得到结果．
（2）由轴对称的性质得∠MBA=∠ABD=20°，∠CBN=∠CBE=10°，BM=BD=6，BN=BE=8，求出∠MBN=90°，根据勾股定理求出MN=$\sqrt{B{M}^{2}+B{N}^{2}}$=10，即可得到结论．

解答 解：（1）作点D关于直线AB的对称点M，作点E关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于F交BC于G，
则四边形DFGE即为所求；

（2）由轴对称的性质得∠MBA=∠ABD=20°，∠CBN=∠CBE=10°，BM=BD=6，BN=BE=8，
∵∠ABC=60°，
∴∠MBN=90°，
∴MN=$\sqrt{B{M}^{2}+B{N}^{2}}$=10，
∴四边形DFGE的最短周长值=MN+DE=10+4=14．
故答案为：14．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．