Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）点B（b，0）为x轴上两点，点C在Y轴的正半轴上，且a，b满足等式a2+2ab+b2=0．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图2，M，N是OC上的点，且∠CAM=∠MAN=∠NAB，延长BN交AC于P，连接PM，判断PM与AN的位置关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若点D为线段BC上的动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AB于E，点G为线段DE上一点，且∠BGE=∠ACB，F为AD的中点，连接CF，FG．求证：CF⊥FG．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰三角形；（2）PM∥AN，证明见解析；（3）见解析

【解析】

（1）由题意可得a=-b，即OA=OB，根据线段垂直平分线的性质可得AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（2）延长AN交BC于点E，连接PM，过点M作MH⊥AE，MD⊥BP，MG⊥AC，根据等腰三角形的性质可得∠NAB=∠NBA，∠ANO=∠BNO，可得∠PNC=∠CNE，根据角平分线的性质可得PM平分∠CPB，根据三角形的外角的性质可得∠CPM=∠CAN=2∠NAB，即可得PM∥AN；
（3）延长GF至点M，使FM=FG，连接CG，CM，AM，由题意可证△AMF≌△DGF，可得AM=DG，由角的数量关系可得∠BCO=∠BDG=∠DBG，即DG=BG，根据“SAS”可证△AMC≌△BGC，可得CM=CG，根据等腰三角形性质可得CF⊥FG．

解：（1）∵a2+2ab+b2=0，
∴（a+b）2=0，
∴a=-b，
∴OA=OB，且AB⊥OC，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形