Question

【探究】：某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，销售量相应减少10条．

（1）假设每条围巾的售价提高x元，那么销售每条围巾所获得的利润是　　　　　　元，销售量是　　　　　　条（用含x的代数式表示）．

（2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每条围巾的售价．

【拓展】：根据销售经验，过季处理时，若每条围巾的售价定为30元亏本销售，可售出50条；若每条围巾的售价每降低1元，销售量相应增加5条，

（1）若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，每条围巾的售价应是　　　　　　元．

（2）若过季需要处理的围巾共m条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是　　　　　　元；（用含m的代数式表示）

【延伸】：若商场共购进了500条围巾且销售情况满足上述条件，如果应季销售利润在不低于8000元的条件下：

（1）没有售出的围巾共m条，则m的取值范围是：　　　　　　；

（2）要使最后的总利润（销售利润=应季销售利润﹣过季亏损金额）最大，则应季销售的售价是　　　　　　元．

参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．

Answer 1

【考点】二次函数的应用．

【分析】探究：（1）每条围巾获得的利润=实际售价﹣进价，销售量=售价为60元时销售量﹣因价格上涨减少的销售量；

（2）根据：销售利润=单件利润×销售量可列函数解析式，并求y=8000时x的值；

拓展：（1）根据：亏损金额=总成本﹣每件围巾的售价×销售量，列出函数关系式，配方后可得最值情况；

（2）根据与（1）相同的相等关系列函数关系式配方可得最大值；

延伸：（1）根据0≤x≤20可得销售量200≤400﹣10x≤400，进而可得没有售出的围巾100≤m≤300；

（2）先表示出亏损的最小金额，然后根据：销售利润=应季销售利润﹣过季亏损金额列出函数关系式配方，结合x的取值范围确定最值情况．

【解答】解：探究：

（1）每个围巾所获得的利润是（20+x）元，

这种围巾的销售量是（400﹣10x）个．

（2）设应季销售利润为y元．

由题意得：y=（20+x）（400﹣10x）=﹣10x²+200x+8000

把y=8000代入，得﹣10x²+200x+8000=8000

解得x1=0，x2=20；

答：围巾的售价为60元或80元． 

拓展：

（1）设过季处理时亏损金额为y₂元，单价降低z元．

由题意得：y₂=40×100﹣（30﹣z）（50+5z），

y₂=5（z﹣10）²+2000；

z=10时亏损金额最小为2000元，此时售价为30﹣10=20（元/件）

（2）y₂=40m﹣（30﹣z）（50+5z），

y₂=5（z﹣10）²+40m﹣2000；

延伸：①m的取值范围是：100≤m≤300 

②因为m=500﹣（400﹣10x）=100+10x，且100≤m≤300

所以亏损的最小金额为40（100+10x）﹣2000=2000+400x元

设总利润为w，

W=（20+x）（400﹣10x）﹣（2000+400x）=﹣10（x+10）²+7000

因为0≤x≤20，

所以当x=0时，即售价为60元/条，总利润w有最大值6000元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解决本题的关键是在不同情形下理清数量关系、紧扣相等关系列出函数解析式，根据解析式结合自变量取值范围求函数最值是根本技能．