Question

【题目】如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①；②；③；④；⑤：，其中正确的是__________．

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

①根据正方形的性质，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质可先求出∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=75°，进而可得出∠DEF=30°，从而可得出∠CEH=45°；

②作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，由，可以得出，就有即BG=；

③先利用AAS证明△DEF≌△EDG，就可以得出DF=EG，就可以得出CG=CF，得出∠CGF=75°，由∠CED=75°，就可以得出GF∥ED；

④由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD错误；

⑤由S△BEC：S△BGC=，由GE=DF=tan15°AD．设AD=CD=BC=AB=x，就有DF=EG=（2-）x，GC=x-（2-）x=（-1）x，就有．综上可得出结论．

解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ADB=∠CDB=45°．

∵△BEC是等边三角形，∴BC=BE=CE，∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°，

∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°，

∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=×（180°-30°）=75°，

∴∠EAD=∠EDA=15°，

∴∠DEF=30°，

∴∠CEH=45°．

故①正确；
②作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，

∴∠BMC=∠DNC=90°，

∴BM=sin60°BC，DN=sin30°CD．

，

∴，

∴BG=DG．

故②错误；

③∵∠EDC=75°，∠BDC=45°，

∴∠EDB=30°，

∴∠DEF=∠EDG=30°，

∴∠EGD=75°．

∵∠ADC=90°，∠DAF=15°，

∴∠EFD=75°，

∴∠EFD=∠EGD．

在△DEF和△EDG中，，

∴△DEF≌△EDG（AAS），

∴DF=EG．

∵EC=DC，

∴EC-EG=DC-DF，

∴CG=CF，

∴∠CGF=∠CFG=75°，

∴∠CED=∠CGF，

∴GF∥ED．

故③正确；

④由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD不正确．故④错误；

⑤在Rt△ADF中，∠DAF=15°，

∴DF=tan15°AD=GE，设AD=CD=BC=AB=x，

∴CE=x，∴CG=x-GE．

又如补充图中，在Rt△ADF中，∠A=15°，在AD上取一点T，使得AT=TF，

∴∠DTF=30°，设DF=a，则TF=TA=2a，TD=a，可得tan15°=．

∴GE=DF=（2-）x，

∴CG=x-（2-）x=（-1）x．

∴S△BEC：S△BGC==．

故⑤正确．

故正确的结论有：①③⑤．
故答案为：①③⑤．