Question

2．如图，在射线BA、BC、AD、CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6$\sqrt{3}$，O是射线BD上一点，⊙O与BA、BC都相切、与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或线段AD）于点E、交线段BC（或线段CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G、H分别在围成菱形的另外两条线段上．
（1）求证：BO=2OM；
（2）当矩形EFGH的面积为24$\sqrt{3}$时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）设⊙O切AB于点P，连接OP，由切线的性质可知∠OPB=90°．先由菱形的性质求得∠OBP的度数，然后依据含30°直角三角形的性质证明即可；
（2）设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．先依据特殊锐角三角函数值求得BD的长，设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．当点E在AB上时．在Rt△BEM中，依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长（用含r的式子表示），由图形的对称性可得到EF、ND、BM的长（用含r的式子表示，从而得到MN=18-6r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18-3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°．

∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∴OB=2OP．
∵OP=OM，
∴BO=2OP=2OM．
（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴BD=2BQ=$\sqrt{3}$AB=18．
设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．
①如图2所示，当点E在AB上时．
在Rt△BEM中，EM=$\sqrt{3}$ r．由对称性得：EF=2EM=2$\sqrt{3}$r，ND=BM=3r．
∴MN=18-6r．
∴S_矩形EFGH=EF•MN=2$\sqrt{3}$r（18-6r）=24$\sqrt{3}$．
解得：r₁=1，r₂=2．   
如图3所示：

点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18-3r．
由对称性可知：NB=MD=6．（根据图2知），
∴MB=3r=18-6=12．
解得：r=4．
综上所述，⊙O的半径为1或2或4．

点评 本题主要考查了菱形的性质、切线的性质、特殊锐角三角函数值的应用、矩形的面积公式，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．