Question

【题目】如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．

（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．

（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．

①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；

②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形OMPN为矩形，理由见解析；（2）①当t=6秒时，四边形OMPN面积最大，此时，PQ与半圆O相切．理由见解析；②当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．

【解析】

（1）先证四边形PQOA为平行四边形，再证四边形OMPN为平行四边形，根据等腰三角形三线合一，得ON⊥AP，进而即可得到结论；

（2）①由题意得S矩形OMPN=S△AOP，从而得△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，进而即可得到t的值，根据切线的判定定理，即可得到结论；②考虑两个特殊情况：当点Q在半圆O上时，当点P与点A重合时，分别求出t的值，进而即可得到答案．

（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：

∵四边形POBQ为平行四边形，

∴PQ∥OB，PQ=OB．

又∵OB=OA，

∴PQ=AO．

又∵PQ∥OA，

∴四边形PQOA为平行四边形，

∴PA∥QO，PA=QO．

又∵M、N分别为OQ、AP的中点，

∴OM=OQ，PN=AP，

∴OM=PN，

∴四边形OMPN为平行四边形．

∵OP=OA，N是AP的中点，

∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，

∴四边形OMPN为矩形；

（2）①∵四边形OMPN为矩形，

∴S矩形OMPN=ON·NP=ON·AP，即S矩形OMPN=S△AOP．

∵△AOP的底AO为定值，

∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，

∴t=90÷15=6秒，

∴当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．

此时，PQ与半圆O相切．理由如下：

∵此时∠POB=90°，PQ//OB，

∴∠OPQ=90°，

∴PQ与半圆O相切；

②当点Q在半圆O上时，

∵四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，

∴四边形POBQ为菱形，

∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，

∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，

∴此时，t=120°÷15°=8秒，

当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，

综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．