【题目】如图,抛物线(≠0)与轴交于A(-4,0),B(2,0),与轴交与点C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方,当以A,C,D为顶点的三角形面积最大时,求点D的坐标及此时三角形的面积;
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2;(2)S△ADC的最大值为2,此时D(﹣2,2).
【解析】
(1)根据A与B坐标设出抛物线解析式,将C坐标代入即可求出;
(2)过点D作DH⊥AB于点H,交直线AC于点G,连接DC,AD,如图所示,利用待定系数法求出直线AC解析式,设D横坐标为m,则有G横坐标也为m,表示出DH与GH,由DH-GH表示出DG,三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积,表示出面积与m的关系式,利用二次函数性质确定出面积的最大值,以及此时m的值,即此时D的坐标即可.
(1)根据题意设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣2),
把C(0,2)代入得:﹣8a=2,即a=﹣,
则抛物线解析式为y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2﹣x+2;
(2)过点D作DH⊥AB于点H,交直线AC于点G,连接DC,AD,如图所示,
设直线AC解析式为y=kx+t,则有
,
解得:,
∴直线AC解析式为y=x+2,
设点D的横坐标为m,则G横坐标也为m,
∴DH=﹣m2﹣m+2,GH=m+2,
∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m,
∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DGAH+DGOH=DGAO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣(m2+4m)=﹣ [(m+2)2﹣4]=﹣(m+2)2+2,
当m=﹣2时,S△ADC取得最大值2,此时yD=﹣×(﹣2)2﹣×(﹣2)+2=2,即D(﹣2,2).
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【题目】我们知道,在平面内,如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如,正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为.
判断下列说法是否正确(在相应横线里填上“对”或“错”)
①正五边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为.________
②长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为.________
填空:下列图形中时旋转对称图形,且有一个旋转角为的是________.(写出所有正确结论的序号)
①正三角形②正方形③正六边形④正八边形
写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为,其中一个是轴对称图形,但不是中心对称图形;另一个既是轴对称图形,又是中心对称图形.
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【题目】阅读理解:小明同学进入初二以后,读书越发认真.
在学习“用因式分解法解方程”时,课后习题中有这样一个问题:
下列方程的解法对不对?为什么?
解:或.
解得或.
所以,.
同学们都认为不对,原因:有的说该题的因式分解是错误的;有的说将答案代入方程,方程左右两边不成立,等等.
小明同学除了认为该解法不正确,还给出了一种因式分解的做法,小明同学的做法如下:
取与的平均值,即将与相加再除以2.
那么原方程可化为.
左边用平方差公式可化为.
再移项,开平方可得
请你认真阅读小明同学的方法,并用这个方法推导:
关于的方程的求根公式(此时).
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【题目】问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分别是 BC,CD 上的点。且∠EAF=60° . 探究图中线段BE,EF,FD 之间的数量关系。 小王同学探究此问题的方法是,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连结 AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_________;
探索延伸:如图2,若四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以55 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 75 海里/小时的速度前进2小时后, 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的夹角为70° ,试求此时两舰 艇之间的距离。
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【题目】为了了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度,增强同学们的环保意识,普及垃圾分类及投放的相关知识.某校环保社团的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”的问卷,并在本校随机抽取了若干名同学进行了问卷测试,根据测试成绩分布情况,他们将全部成绩分成A,B,C,D四组,并绘制了如下不完整的统计图表:
组别 | 分数段 | 频数 | 频率 |
A | 60≤x<70 | a | b |
B | 70≤x<80 | 24 | 0.4 |
C | 80≤x<90 | 18 | c |
D | 90≤x<100 | 12 | 0.2 |
请根据上述统计图表,解答下列问题:
(1)共抽取了多少名学生进行问卷测试?
(2)补全频数分布直方图;
(3)如果测试成绩不低于80分者为“优秀”,请你估计全校2000名学生中,“优秀”等次的学生约有多少人?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2cm,E、F分别是AB、AC的中点,动点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时动点Q从点B出发,沿BF方向匀速运动,速度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为ts(0<t<1),则当t=___时,△PQF为等腰三角形.
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【题目】一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?
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【题目】改革开放后,不少农村用上了自动喷灌设备.如图所示,AB表示水管,在B处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水是抛物线状,建立如图所示的直角坐标系后,抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+.
(1)当x=1时,喷出的水离地面多高?
(2)你能求出水的落地点距水管底部A的最远距离吗?
(3)水管有多高?
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