Question

6．已知函数y=x²-2mx-2（m+3）（m为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数与x轴总有两个交点；
（2）设函数的两交点的横坐标分别为x₁和x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，求此函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得到一个一元二次方程，然后求这个方程的△，通过化简即可解答本题；
（2）根据y=0的一元二次方程，根与系数的关系，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，可以求得m的值，从而可以得到此函数的解析式．

解答 解：（1）∵令y=0，则x²-2mx-2（m+3）=0，
∴△=（-2m）²-4×1×[-2（m+3）]=4m²+8m+24=4（m+1）²+20＞0．
∴无论m取何值，方程x²-2mx-2（m+3）=0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数与x轴总有两个交点．
（2）∵函数的两交点的横坐标分别为x₁和x₂，y=x²-2mx-2（m+3），
∴x²-2mx-2（m+3）=0时，x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3）．
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{x}_{2}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$．
∴$\frac{2m}{-2（m+3）}=-\frac{1}{4}$．
解得m=1．
∴此函数的解析式为y=x²-2x-8．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、求函数的解析式，解题的关键是明确二次函数与x轴的交点，是y=0时的方程的根，知道根与系数的关系．