Question

已知：直角梯形ABCD中，DC⊥BC，AD∥BC，AD=AB=5，BC=8．动点P以1个单位/秒的速度从C开始，沿C-D-A方向运动，到达点A时停止．
（1）设△BCP的面积为y，运动的时间为t秒．求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
（2）连接AP，当点P在CD上时，求在第几秒时，△ABP的面积与△BCP的面积相等？
（3）若在点P从点C出发的同时，另一动点M从A开始沿着A-D-C方向运动，运动速度为2个单位/秒．求当P、M相遇时，△BCP的面积？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理可得出AE的长，进而得出CD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先求出梯形ABCD的面积，设在第x秒时，△ABP的面积与△BCP的面积相等，即S_△BCP=S_梯形ABC-S_△BCP-S_△ADP，由此可得出结论；
（3）设经过t秒P、M相遇，求出t的值，进而得出结论．

解答：解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，
∵DC⊥BC，AD∥BC，AD=AB=5，BC=8，
∴BE=3，
∴AE=

AB2-BE2

=

52-32

=4，
∴CD=AE=4，
∴当点P在CD上时，y=

1

2

BC•t=4t（0＜t≤4）；
当点P在AD上时，y=

1

2

BC•CD=

1

2

×8×4=16（4＜t≤9）．
故

y=4t(0＜t≤4) y=16(4＜t≤9)

；

（2）如图2，∵直角梯形ABCD中，DC⊥BC，AD∥BC，AD=AB=5，BC=8，CD=4，
∴S_梯形ABC=

1

2

（AD+BC）•CD=

1

2

（5+8）×4=26，
设在第x秒时，△ABP的面积与△BCP的面积相等，即S_△BCP=S_梯形ABC-S_△BCP-S_△ADP，
∴

1

2

BC•x=26-

1

2

BC•x-

1

2

AD•（4-x），即

1

2

×8x=26-

1

2

×8x-

1

2

×5×（4-x），解得x=

32

11

（秒）．
答：在第

32

11

秒时，△ABP的面积与△BCP的面积相等；

（3）设经过t秒P、M相遇，
∵点P从点C出发的同时，另一动点M从A开始沿着A-D-C方向运动，运动速度为2个单位/秒，AD=5，CD=4，
∴3t=AD+CD=5+4=9，解得t=3（秒），
∴S_△BCP=

1

2

BC×3=

1

2

×8×3=12．
答：△BCP的面积为12．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到梯形及直角三角形的面积公式，难度适中．