Question

3．如图，在平面直角坐标系中，⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．
（1）求圆的半径和点D的坐标；
（2）点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（8，0），sin∠ACB$\frac{3}{5}$；
（3）求经过C、A、B三点的抛物线解析式；
（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与⊙D相切．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥AB于E，连接DC、AD，如图1，根据垂径定理可得AE=EB=3，根据切线的性质可得DC⊥y轴，易证四边形OCDE是矩形，在Rt△ADE中运用勾股定理就可解决问题；
（2）过点D作DE⊥AB于E，连接DB、AD，如图2，只需求出OA、OB就可求出点A、B的坐标，易证∠ADE=∠ACB，只需求出sin∠ADE就可解决问题；
（3）只需运用待定系数法就可解决问题；
（4）易得DF垂直平分AB，要证直线FA与⊙D相切，只需证∠DAF=90°，只需运用勾股定理的逆定理就可解决问题．

解答 解：（1）过点D作DE⊥AB于E，连接DC、AD，如图1，
则AE=EB=$\frac{1}{2}$AB=3，DC⊥y轴，
∴∠DCO=∠COE=∠DEO=90°，
∴四边形OCDE是矩形，
∴OE=CD，DE=OC=4．
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴OE=CD=AD=5，
∴圆的半径为5，点D的坐标为（5，4）；

（2）过点D作DE⊥AB于E，连接DB、AD，如图2，
∵OE=5，AE=EB=3，
∴OA=5-3=2，OB=5+3=8．
∵DA=DB，
∴∠ADE=∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=∠ACB，
∴sin∠ACB=sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$．
故答案分别为：（2，0），（8，0），$\frac{3}{5}$；

（3）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），B（8，0），C（0，4）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{5}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4；

（4）连接DA，DF，如图3，
∵D、F都在线段AB的垂直平分线上，
∴DF垂直平分AB．
由y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$（x-5）²-$\frac{9}{4}$可得F（5，-$\frac{9}{4}$），
∵DF=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，AF=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴DA²+AF²=5²+（$\frac{15}{4}$）²=$\frac{625}{16}$=（$\frac{25}{4}$）²=DF²，
∴∠DAF=90°，
∴FA与⊙D相切．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、垂径定理、切线的性质、勾股定理及其逆定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角函数等知识，将求sin∠ACB转化为求sin∠ADE是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理的逆定理是解决第（4）小题的关键．