Question

4．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（　　）

• A． 1：3
• B． 2：3
• C． $\sqrt{3}$：2
• D． $\sqrt{3}$：3

Answer 1

分析 首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：$\sqrt{3}$，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．

解答 解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1：$\sqrt{3}$①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，$\frac{AB}{DF}$=$\sqrt{3}$，
∴DF：AB=1：$\sqrt{3}$，
∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故选：A．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质．此题难度不是很大，解题时要注意仔细识图．