Question

9．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：EF=EC；
（2）若AD=2AB，求∠FDC．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠B=∠ADC=90°，AD=BC，AD∥BC，得出∠AEB=∠DAF，由AAS证明△ABE≌△DFA，得出BE=AF，即可得出结论；
（2）先证出∠AEB=30°，再由角的互余关系即可求出∠FDC的度数．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠ADC=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
在△ABE和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DAF}&{\;}\\{∠B=∠AFD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴BE=AF，
∵AE=AD，
∴AE=BC，
∴AE-AF=BC-BE，
即EF=EC；
（2）解：∵AD=2AB，
∴AE=2AB，
∴∠AEB=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠ADF=60°，
∴∠FDC=90°-60°=30°．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．