Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$x与直线y=$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标：P₁（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$），P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），P₃（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根据解方程组，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据等腰三角形的判定，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：联立抛物线与直线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即B（3，3）．
当x=0时，y=$\frac{3}{2}$，即C（0，$\frac{3}{2}$）．
设OB的解析式为y=kx，将B点坐标代入，得
3k=3，解得k=1，
即OB的解析式为y=x，
设P点坐标为（x，x），
当OP=OC时，x²+x²=（$\frac{3}{2}$）²．
解得x=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$（不符合题意，舍），x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，y=x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，P₁（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）；
当OP=CP时，x²+（x-$\frac{3}{2}$）²=x²+x²，
解得x=$\frac{3}{4}$，y=x=$\frac{3}{4}$，P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）；
当OC=CP时，x²+（x-$\frac{3}{2}$）²=（$\frac{3}{2}$）²，
解得x=0（不符合题意，舍），x=$\frac{3}{2}$，y=x=$\frac{3}{2}$，P₃（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
综上所述：P₁（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$），P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），P₃（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
故答案为：P₁（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$），P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），P₃（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，利用解方程组求交点坐标，等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．