Question

阅读下列材料：

我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形.

结合阅读材料，完成下列问题：

（1） 下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

（2）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC, 请直接写出∠ABC的度数.

 

Answer 1

（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°.

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.

（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.

（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C.

（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD.

∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，

∴分三种情况讨论：

若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°；

若AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°；

若AC=DC，如图 3，则可求∠ABC=150°.

考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.