Question

【题目】实验探究：

如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，交于、点．

（问题发现）

（1）把绕点旋转到图，、的关系是_________（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；

（类比探究）

（2）若，，把绕点旋转，当时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时的长；

（拓展延伸）

（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段的最小值为_________．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）或；（3）1．

【解析】

（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；
（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到，进而得到PD=；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到，进而得出PB=，PD=BD+PB=；
（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小．

（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴BA=CA，DA=EA，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
故答案为：相等．
（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，
∴△PCD∽△ACE，
∴，即
∴PD=
若点B在AE上，如图2所示：

∵∠BAD=90°，
∴Rt△ABD中，，BE=AEAB=2，
∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，
∴△BAD∽△BPE，
∴，即，
解得PB=，
∴PD=BD+PB=，
综上可得，PD的长为或．
（2）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小

在Rt△PED中，PD=DEsin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．
当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，
在Rt△ACE中，CE=，
在Rt△DAE中，DE=，
∵四边形ACPB是正方形，
∴PC=AB=3，
∴PE=3+4=7，
在Rt△PDE中，PD=，
即旋转过程中线段PD的最小值为1．