【题目】如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D,BC是⊙O的切线,E为BC的中点,连接AE、DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)设△CDE的面积为 S1,四边形ABED的面积为 S2.若 S2=5S1,求tan∠BAC的值;
(3)在(2)的条件下,若AE=3,求⊙O的半径长.
【答案】(1)见解析;(2)tan∠BAC=;(3)⊙O的半径=2.
【解析】
(1)连接DO,由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°,可以得出∠CDB=90°,根据E为BC的中点可以得出DE=BE,就有∠EDB=∠EBD,OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD,由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论.
(2)由S2=5 S1可得△ADB的面积是△CDE面积的4倍,可求得AD:CD=2:1,可得.则tan∠BAC的值可求;
(3)由(2)的关系即可知,在Rt△AEB中,由勾股定理即可求AB的长,从而求⊙O的半径.
解:(1)连接OD,
∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠CDB=90°.
∵E为BC的中点,
∴DE=BE,
∴∠EDB=∠EBD,
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,
即∠EDO=∠EBO.
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线,
∴AB⊥BC,
∴∠EBO=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵S2=5 S1
∴S△ADB=2S△CDB
∴
∵△BDC∽△ADB
∴
∴DB2=ADDC
∴
∴tan∠BAC==.
(3)∵tan∠BAC=
∴,得BC=AB
∵E为BC的中点
∴BE=AB
∵AE=3,
∴在Rt△AEB中,由勾股定理得
,解得AB=4
故⊙O的半径R=AB=2.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.
(1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)设∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α﹣β)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】一粒木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的 反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是 “兵”面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的机会大小,某 实验小组做了棋子下掷实验,实验数据如下表:
实验次数 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 |
“兵”字面朝上频数 | 14 | 38 | 47 | 52 | 66 | 78 | 88 | |
“兵”字面朝上频率 | 0.7 | 0.45 | 0.63 | 0.59 | 0.52 | 0.56 | 0.55 |
(1)请将数据表补充完整:
(2)在图中画出“兵”字面朝上的频率分布折线图:
(3)如果实验继续进行下去,根据上表的数据,这个实验所得频率将逐渐稳定到某 一个数值附近,请你估计该随机事件在每次实验时发生的机会大小.
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【题目】如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=4,把边长分别为,,,…,的n个正方形依次放入△ABC中,则第n个正方形的边长_______________(用含n的式子表示).
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【题目】(1)(问题发现)
如图1,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,延长CA到点F,使得AF=AC,连接DF、BE,则线段BE与DF的数量关系为 ,位置关系为 ;
(2)(拓展研究)
将△ADE绕点A旋转,(1)中的结论有无变化?仅就图(2)的情形给出证明;
(3)(解决问题)
当AB=2,AD=,△ADE旋转得到D,E,F三点共线时,直接写出线段DF的长.
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【题目】服装厂准备生产某种样式的服装40000套,分黑色和彩色两种.
(1)若生产黑色服装的套数不多于彩色服装套数的,问最多生产多少套黑色服装?
(2)目前工厂有100名工人,平均每人生产400套,由于展品会上此种样式服装大受欢迎,工厂计划增加产量;由于条件发生变化,人均生产套数将减少1.25a%(20<a<30),要使生产总量增加10%,则工人需增加2.4a%,求a的值.
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【题目】如图,△ABC的顶点坐标分别为A(0,1),B(3,3),C(1,3),
(1)①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1;
②画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2,写出点C2的坐标;
(2)若△ABC上任意一点P(m,n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q,则点Q的坐标为________.(用含m,n的式子表示)
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