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【题目】如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点DBC是⊙O的切线,EBC的中点,连接AEDE

1)求证:DE是⊙O的切线;

2)设△CDE的面积为 S1,四边形ABED的面积为 S2.若 S25S1,求tanBAC的值;

3)在(2)的条件下,若AE3,求⊙O的半径长.

【答案】1)见解析;(2tanBAC;(3)⊙O的半径=2

【解析】

1)连接DO,由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°,可以得出∠CDB=90°,根据EBC的中点可以得出DE=BE,就有∠EDB=EBDOD=OB可以得出∠ODB=OBD,由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论.

2)由S2=5 S1可得△ADB的面积是△CDE面积的4倍,可求得ADCD=21,可得.则tanBAC的值可求;

3)由(2)的关系即可知,在RtAEB中,由勾股定理即可求AB的长,从而求⊙O的半径.

解:(1)连接OD

ODOB

∴∠ODB=∠OBD

AB是直径,

∴∠ADB90°

∴∠CDB90°

EBC的中点,

DEBE

∴∠EDB=∠EBD

∴∠ODB+EDB=∠OBD+EBD

即∠EDO=∠EBO

BC是以AB为直径的⊙O的切线,

ABBC

∴∠EBO90°

∴∠ODE90°

DE是⊙O的切线;

2)∵S25 S1

SADB2SCDB

∵△BDC∽△ADB

DB2ADDC

tanBAC==

3)∵tanBAC

,得BCAB

EBC的中点

BEAB

AE3

∴在RtAEB中,由勾股定理得

,解得AB4

故⊙O的半径RAB2

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实验次数

20

40

60

80

100

120

140

160

“兵”字面朝上频数

14

38

47

52

66

78

88

“兵”字面朝上频率

0.7

0.45

0.63

0.59

0.52

0.56

0.55

1)请将数据表补充完整:

2)在图中画出“兵”字面朝上的频率分布折线图:

3)如果实验继续进行下去,根据上表的数据,这个实验所得频率将逐渐稳定到某 一个数值附近,请你估计该随机事件在每次实验时发生的机会大小.

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2)(拓展研究)

将△ADE绕点A旋转,(1)中的结论有无变化?仅就图(2)的情形给出证明;

3)(解决问题)

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