Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣1，y＝x2﹣2x﹣3；（2）sin（α﹣β）＝；（3）在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．

【解析】

（1）过M作MN⊥y轴于N，连接CM，利用勾股定理可知m的值，同样的方法可以求出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式中即可求.

（2）通过计算可得出，进而证明Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，则sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC可求.

（3）经过分析可知，根据题意分Rt△COA∽Rt△BCE；过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，Rt△CAP2∽Rt△BCE；过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，Rt△P3CA∽Rt△BCE三种情况，分情况讨论即可.

（1）由题意可知C（0，﹣3），1，

∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），

过M作MN⊥y轴于N，连接CM，

则MN＝1，CM，

由勾股定理得CN＝2，ON=1，

∴m＝﹣1．

同理可求得B（3，0），

将点B代入抛物线的解析式中得

∴a×32﹣2a×3﹣3＝0，得a＝1．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）．

∵M到AB，CD的距离相等，OB＝OC，

∴OA＝OD，

∴点D的坐标为（0，1），

∴在Rt△BCO中，BC3，

∴，

在△BCE中，

∵BC2+CE2＝

∴△BCE是Rt△

，

∴，

即，

∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，

因此sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC．

（3）∵OB＝OC，OD＝OA，

∴Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．

过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，

则Rt△CAP2∽Rt△BCE，

∴P2（0，）．

过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，

则Rt△P3CA∽Rt△BCE，

∴P3（9，0）．

故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），

使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．