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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

【答案】(1)、y=--2x+3;(2)、Q(-1,2);(3)、()

【解析】

试题分析:(1)、将点A和点B代入函数解析式,利用待定系数法求出函数解析式;(2)、根据题意得出A、B两点关于对称轴对称,则直线BC与x=-1的交点就是点Q,根据题意得出点C的坐标,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,从而得出点Q的坐标;(3)、首先设点P的坐标,然后根据BPC的面积等于四边形BPCO的面积减去BOC的面积,然后列出关于x的函数解析式,从而得出最大值.

试题解析:(1)、将A(1,0),B(3,0)代y=x2+bx+c中得

抛物线解析式为:y=x22x+3;

(2)、存在

理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称

直线BC与x=1的交点即为Q点,此时AQC周长最小y=x22x+3 C的坐标为:(0,3)

直线BC解析式为:y=x+3 Q点坐标即为解得 Q(1,2);

(3)、存在.

理由如下:设P点(x,x22x+3)(3<x<0) SBPC=S四边形BPCOSBOC=S四边形BPCO

若S四边形BPCO有最大值,则SBPC就最大,

S四边形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE(PE+OC)=(x+3)(x22x+3)+x)(x22x+3+3)

=

当x=时,S四边形BPCO最大值=SBPC最大=

当x=时,x22x+3= 点P坐标为().

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