【题目】矩形AOBC中,OB=8,OA=4.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;
(2)连接EF、AB,求证:EF∥AB;
(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.
【答案】(1)E(4,4);(2)见解析;(3)y=
【解析】
(1)首先确定点F坐标,求出反比例函数解析式,再根据解析式求得点E坐标即可;
(2)连接AB,分别求出∠EFC,∠ABC的正切值即可解决问题;
(3)先作出辅助线判断出Rt△MEG∽Rt△BGF,再确定出点E,F坐标进而EG=8﹣,GF=4﹣,求出BD,最后用勾股定理建立方程求出k即可得出结论;
解:(1)∵四边形OACB是矩形,OB=8,OA=4,
∴C(8,4),
∵点F是BC中点,
∴F(8,2),
∵点F在y=上,
∴k=16,反比例函数解析式为y=
∵点E在反比例函数图像上,且E点的纵坐标为4,
∴4=
∴x=4
∴E(4,4).
(2)连接AB,设点F(8,a),
∴k=8a,
∴E(2a,4),
∴CF=4﹣a,EC=8﹣2a,
在Rt△ECF中,tan∠EFC==2,
在Rt△ACB中,tan∠ABC==2,
∴tan∠EFC=tan∠ABC,
∴∠EFC=∠ABC,
∴EF∥AB.
(3)如图,
设将△CEF沿EF折叠后,点C恰好落在OB上的G点处,
∴∠EGF=∠C=90°,EC=EG,CF=GF,
∴∠MGE+∠FGB=90°,
过点E作EM⊥OB,
∴∠MGE+∠MEG=90°,
∴∠MEG=∠FGB,
∴Rt△MEG∽Rt△BGF,
∴,
∵点E(,4),F(8,),
∴EC=AC﹣AE=8﹣,CF=BC﹣BF=4﹣,
∴EG=EC=8﹣,GF=CF=4﹣,
∵EM=4,
∴,
∴GB=2,
在Rt△GBF中,GF2=GB2+BF2,
即:(4﹣)2=(2)2+()2,
∴k=12,
∴反比例函数表达式为y= .
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【题目】一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式.
(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上0.25m处出手,
问:球出手时,他距离地面的高度是多少?
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【题目】阅读下面材料,然后解答问题:
在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段的中点坐标为(,).如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=(x<0)和y=(x>0)的图象关于y轴对称,直线y=与两个图象分别交于A(a,1),B(1,b)两点,点C为线段AB的中点,连接OC、OB.
(1)求a、b、k的值及点C的坐标;
(2)若在坐标平面上有一点D,使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形,请求出点D的坐标.
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【题目】如图,在中,,平分交于点,为上一点,经过点,的分别交,于点,,连接交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)设,,试用含的代数式表示线段的长;
(3)若,,求的长.
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【题目】下表中有两种移动电话计费方式.
月使用费元 | 主叫限定时间 | 主叫超时费 | 被叫 | |
方式一 | 49 | 100 | 免费 | |
方式二 | 69 | 150 | 免费 |
设一个月内主叫通话为t分钟是正整数.
当时,按方式一计费为______元;按方式二计费为______元;
当时,是否存在某一时间t,使两种计费方式相等,若存在,请求出对应t的值,若不存在,请说明理由;
当时,请直接写出省钱的计费方式?
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4,对角线AC、BD相交于点O,现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合,再绕着O点转动三角板,并过点D作DH⊥OF于点H,连接AH.在转动的过程中,AH的最小值为_____.
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